Un logarithme qui converge

Sur le segment. Posons $u(t)=\ln t$ et $v^{\prime }(t)=\frac{1}{t^2}$, donc $u^{\prime }(t)=\frac{1}{t}$ et $v(t)=-\frac{1}{t}$. L'intégration par parties donne, pour $x>1$ :

$${\int }_1^x\frac{\ln t}{t^2}\mathrm{d}t={\left[-\frac{\ln t}{t}\right]}_1^x+{\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^2}.$$

Le crochet. En $t=1$, $\ln 1=0$ : le crochet ne laisse que son terme en $x$. Et ${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^2}=1-\frac{1}{x}$. Donc

$${\int }_1^x\frac{\ln t}{t^2}\mathrm{d}t=-\frac{\ln x}{x}+1-\frac{1}{x}.$$

La limite. Par croissances comparées, $\frac{\ln x}{x}\to 0$ ; et $\frac{1}{x}\to 0$. L'intégrale converge donc, et vaut $1$.

Le point délicat. L'ordre des gestes. Écrire directement ${\left[-\frac{\ln t}{t}\right]}_1^{+\infty }$ n'a aucun sens : un crochet ne s'évalue qu'entre deux nombres. On fait l'intégration par parties sur $[1,x]$, et l'on passe à la limite ensuite.

Le point à retenir. Le facteur $\ln t$ tend vers l'infini, et pourtant l'aire reste finie : c'est $\frac{1}{t^2}$ qui décide, parce que le logarithme croît trop lentement pour peser. C'est exactement ce que dit la limite des croissances comparées.