Un recollement à ajuster des deux côtés

La méthode. On coupe en $0$, on traite les deux morceaux l'un après l'autre, on additionne, puis on résout en $c$.

Le morceau de gauche. Sur $\left]-\infty ,0\right]$, $f(t)=c{\mathrm{e}}^t$, dont une primitive est $c{\mathrm{e}}^t$. Pour $x<0$ : $${\int }_x^{0}c{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t=[c{\mathrm{e}}^t{]}_x^0=c-c{\mathrm{e}}^x.$$ Quand $x\to -\infty$, ${\mathrm{e}}^x\to 0$, donc ce morceau converge et vaut $c$.

Le morceau de droite. Sur $[0,+\infty [$, $f(t)=c{\mathrm{e}}^{-2t}$, dont une primitive est $-\frac{c}{2}{\mathrm{e}}^{-2t}$. Pour $x>0$ : $${\int }_0^{x}c{\mathrm{e}}^{-2t}\mathrm{d}t={\left[-\frac{c}{2}{\mathrm{e}}^{-2t}\right]}_0^x=\frac{c}{2}\left(1-{\mathrm{e}}^{-2x}\right)\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{c}{2}.$$

La somme. Les deux morceaux convergent, donc l'intégrale sur $\mathbb{R}$ converge et vaut $c+\frac{c}{2}=\frac{3c}{2}$.

Conclusion. L'égalité $\frac{3c}{2}=1$ donne $c=\frac{2}{3}$. Cette valeur est bien strictement positive, donc $f$ est positive sur $\mathbb{R}$ : avec $c=\frac{2}{3}$, la fonction $f$ a tout ce qu'il faut pour être une densité.

Le point délicat. Les deux moitiés n'ont pas la même aire, bien que la même constante $c$ figure des deux côtés : à gauche l'exponentielle a pour taux $1$, à droite $2$, et une décroissance deux fois plus rapide laisse deux fois moins d'aire. Le facteur $\frac{1}{2}$ vient de là, pas d'une symétrie.