Un recollement à ajuster

Découpage. La relation de Chasles coupe l'intégrale en trois morceaux : $\left]-\infty ,0\right]$, $[0,1]$ et $[1,+\infty [$.

Premier morceau. $f$ y est nulle, donc son intégrale vaut $0$.

Deuxième morceau. ${\int }_0^{1}c\mathrm{d}t=c$.

Troisième morceau. Une primitive de $c{\mathrm{e}}^{-(t-1)}$ est $-c{\mathrm{e}}^{-(t-1)}$, donc pour $x>1$ :

$${\int }_1^{x}c{\mathrm{e}}^{-(t-1)}\mathrm{d}t=c\left(1-{\mathrm{e}}^{-(x-1)}\right)\underset{x\to +\infty }{\to }c.$$

L'équation. Le total vaut $0+c+c=2c$, et l'on veut $2c=1$, donc $c=\frac{1}{2}$. La positivité demande $c\ge 0$ : elle est acquise.

Contrôle. Avec $c=\frac{1}{2}$, la partie constante et la queue exponentielle pèsent chacune $0,5$ : la masse se partage exactement en deux.

Le point à retenir. Le recollement en $t=1$ est ici continu ($\frac{1}{2}$ des deux côtés), mais cela n'a joué aucun rôle : seule compte l'aire, et un point n'a pas de largeur. Une fonction définie par morceaux s'intègre morceau par morceau, puis on additionne.