Un recollement à ajuster

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 7 — Compléments d'analyse · Chasles et fonctions définies par morceaux

Énoncé

Soit $c$ un réel et soit $f$ définie sur $R$ par $f (t) = 0$ si $t < 0$ , $f (t) = c$ si $0 \leq t \leq 1$ , et $f (t) = c e^{- (t - 1)}$ si $t > 1$ . Déterminer $c$ pour que $f$ soit positive et que $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t = 1$ .

Corrigé

Découpage. La relation de Chasles coupe l'intégrale en trois morceaux : $] - \infty, 0]$ , $[0, 1]$ et $[1, + \infty [$ .

Premier morceau. $f$ y est nulle, donc son intégrale vaut $0$ .

Deuxième morceau. $\int_{0}^{1} c d t = c$ .

Troisième morceau. Une primitive de $c e^{- (t - 1)}$ est $- c e^{- (t - 1)}$ , donc pour $x > 1$ :

$\int_{1}^{x} c e^{- (t - 1)} d t = c (1 - e^{- (x - 1)}) x \to + \infty c .$

L'équation. Le total vaut $0 + c + c = 2 c$ , et l'on veut $2 c = 1$ , donc $c = \frac{1}{2}$ . La positivité demande $c \geq 0$ : elle est acquise.

Contrôle. Avec $c = \frac{1}{2}$ , la partie constante et la queue exponentielle pèsent chacune $0, 5$ : la masse se partage exactement en deux.

Le point à retenir. Le recollement en $t = 1$ est ici continu ( $\frac{1}{2}$ des deux côtés), mais cela n'a joué aucun rôle : seule compte l'aire, et un point n'a pas de largeur. Une fonction définie par morceaux s'intègre morceau par morceau, puis on additionne.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.