Une aire à gauche d'un point

La définition. L'intégrale converge lorsque $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\int }_x^2{\mathrm{e}}^{t-2}\mathrm{d}t$ existe et est finie. C'est maintenant la borne basse qui s'échappe.

Une primitive. La fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{t-2}$ est continue sur $\mathbb{R}$, et ${\left({\mathrm{e}}^{t-2}\right)}^{\prime }={\mathrm{e}}^{t-2}$ : elle est sa propre primitive.

Sur un segment. Pour $x<2$, $${\int }_x^2{\mathrm{e}}^{t-2}\mathrm{d}t=[{\mathrm{e}}^{t-2}{]}_x^2={\mathrm{e}}^0-{\mathrm{e}}^{x-2}=1-{\mathrm{e}}^{x-2}.$$

La limite. Quand $x\to -\infty$, l'exposant $x-2$ tend vers $-\infty$, donc ${\mathrm{e}}^{x-2}\to 0$. La limite vaut $1$ : l'intégrale converge et $${\int }_{-\infty }^2{\mathrm{e}}^{t-2}\mathrm{d}t=1.$$

Remarque. Le raisonnement est exactement celui d'une borne infinie à droite, au sens de la limite près.