Une aire nulle sur tout segment symétrique, et pourtant divergente

Une primitive. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ tout entier, car $1+t^2>0$. Comme ${\left(\ln (1+t^2)\right)}^{\prime }=\frac{2t}{1+t^2}$, la fonction $F(t)=\frac{1}{2}\ln (1+t^2)$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Sur un segment symétrique. Pour $x>0$, $${\int }_{-x}^{x}f(t)\mathrm{d}t=F(x)-F(-x)=\frac{1}{2}\ln (1+x^2)-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)=0,$$ puisque $F(-x)=F(x)$ : la fonction $F$ est paire. Cette quantité vaut $0$ pour tout $x$, donc elle tend vers $0$.

La définition, elle, coupe en $0$. L'intégrale sur $\mathbb{R}$ converge lorsque les deux morceaux convergent séparément. Or pour $x>0$ : $${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\ln (1+x^2)\underset{x\to +\infty }{\to }+\infty .$$ Le morceau de droite diverge. L'affaire est close : l'intégrale sur $\mathbb{R}$ diverge, et il est inutile d'examiner le morceau de gauche.

Le point délicat, et c'est tout l'exercice. Faire grandir les deux bornes en même temps fabrique ici une limite ($0$) là où l'intégrale n'existe pas. La compensation entre les deux moitiés est un artefact du choix des bornes : en prenant ${\int }_{-x}^{2x}$ on trouverait $\frac{1}{2}\ln \frac{1+4x^2}{1+x^2}\to \ln 2$, une autre valeur encore. C'est pourquoi la définition impose de traiter les deux moitiés l'une après l'autre.