Une borne qui part à gauche

Sur le segment. Pour $x<0$ :

$${\int }_x^0{\mathrm{e}}^{3t}\mathrm{d}t={\left[\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{3t}\right]}_x^0=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{3x}.$$

La limite. Quand $x\to -\infty$, $3x\to -\infty$ donc ${\mathrm{e}}^{3x}\to 0$. L'intégrale converge et vaut $\frac{1}{3}$.

Attention au signe. C'est bien ${\mathrm{e}}^{3x}$, avec $x$ négatif, qui tend vers $0$. Si l'exposant avait été $-3t$, l'intégrale aurait divergé : à gauche, ce sont les exponentielles croissantes qui s'amortissent.