Une constante à trouver, puis une queue d'aire

Le morceau de gauche est nul. Sur $\left]-\infty ,0\right[$ la fonction est identiquement nulle, donc ${\int }_x^{0}f(t)\mathrm{d}t=0$ pour tout $x<0$ : ce morceau converge et vaut $0$. Tout se joue à droite.

Le morceau de droite. Une primitive de $(1+t{)}^{-3}$ est $-\frac{1}{2(1+t{)}^2}$. Pour $x>0$ : $${\int }_0^x\frac{c\mathrm{d}t}{(1+t{)}^3}={\left[-\frac{c}{2(1+t{)}^2}\right]}_0^x=\frac{c}{2}-\frac{c}{2(1+x{)}^2}\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{c}{2}.$$

La constante. L'intégrale sur $\mathbb{R}$ converge et vaut $\frac{c}{2}$ ; l'égalité $\frac{c}{2}=1$ donne $c=2$. Cette valeur est positive, donc $f$ l'est aussi : $f$ est bien une densité.

La queue au-delà de $2$. Avec $c=2$, pour $x>2$ : $${\int }_2^x\frac{2\mathrm{d}t}{(1+t{)}^3}={\left[-\frac{1}{(1+t{)}^2}\right]}_2^x=\frac{1}{9}-\frac{1}{(1+x{)}^2}\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{1}{9}.$$ Donc ${\int }_2^{+\infty }f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{9}\approx 0,111$.

Lecture. L'aire totale valant $1$, ce $\frac{1}{9}$ dira au chapitre suivant que la variable dépasse $2$ dans un peu plus d'un cas sur neuf, et l'aire restante, $\frac{8}{9}$, qu'elle reste en deçà dans les autres.