Une constante devant une puissance

La méthode. On calcule l'intégrale en gardant $c$ en facteur, puis on résout l'équation obtenue.

Une primitive. Pour $t\ge 1$, la fonction $t\mapsto c{t}^{-3}$ est continue, et ${\left(-\frac{c}{2t^2}\right)}^{\prime }=\frac{c}{t^3}$.

Sur un segment. Pour $x>1$, $${\int }_1^x\frac{c}{t^3}\mathrm{d}t={\left[-\frac{c}{2t^2}\right]}_1^x=\frac{c}{2}-\frac{c}{2x^2}.$$

La limite. Quand $x\to +\infty$, $\frac{c}{2x^2}\to 0$ : l'intégrale converge et vaut $\frac{c}{2}$, quelle que soit la valeur de $c$.

Conclusion. L'égalité $\frac{c}{2}=1$ donne $c=2$.

Contrôle. Avec $c=2$, la fonction $t\mapsto 2/t^3$ est positive sur $[1,+\infty [$ et d'aire totale $1$ : elle est prête à servir de densité.