Une constante, puis la queue d'aire

Le morceau de gauche. La fonction y est nulle : ce morceau converge et vaut $0$.

Le morceau de droite. Une primitive de $(1+t{)}^{-2}$ est $-\frac{1}{1+t}$. Pour $x>0$ : $${\int }_0^x\frac{c\mathrm{d}t}{(1+t{)}^2}={\left[-\frac{c}{1+t}\right]}_0^x=c-\frac{c}{1+x}\underset{x\to +\infty }{\to }c.$$

La constante. L'intégrale sur $\mathbb{R}$ converge et vaut $c$ ; l'égalité $c=1$ répond à la question. La fonction $t\mapsto \frac{1}{(1+t{)}^2}$ est alors positive et d'aire totale $1$ : c'est une densité.

La queue au-delà de $1$. Avec $c=1$, pour $x>1$ : $${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{(1+t{)}^2}={\left[-\frac{1}{1+t}\right]}_1^x=\frac{1}{2}-\frac{1}{1+x}\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{1}{2}.$$ Donc ${\int }_1^{+\infty }f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}$ : la moitié de l'aire est au-delà de $1$, l'autre moitié en deçà.