Une différence qui converge, deux morceaux qui divergent

La différence. Sur $[1,+\infty [$, la fonction $t\mapsto \frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}$ est continue, et $t\mapsto \ln t-\ln (t+1)$ en est une primitive. Pour $x>1$ : $${\int }_1^x\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right)\mathrm{d}t=[\ln t-\ln (t+1){]}_1^x=\ln \left(\frac{x}{x+1}\right)-\ln \left(\frac{1}{2}\right).$$ Or $\frac{x}{x+1}\to 1$ quand $x\to +\infty$, donc $\ln \left(\frac{x}{x+1}\right)\to \ln 1=0$ par continuité du logarithme. La limite vaut $-\ln \frac{1}{2}=\ln 2$ : l'intégrale converge et vaut $\ln 2$.

Chacun des deux morceaux. ${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln x$ tend vers $+\infty$ : divergence. De même ${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t+1}=\ln (x+1)-\ln 2$ tend vers $+\infty$ : divergence également.

Le point délicat. La linéarité de l'intégrale généralisée suppose que les deux intégrales convergent. Ici elles divergent : on n'a donc pas le droit d'écrire notre résultat comme une différence, et l'écriture $(+\infty )-(+\infty )$ n'a aucun sens. La convergence de la différence tient à ce que les deux logarithmes s'échappent à la même vitesse et que leur écart, lui, reste borné — mais cela se lit sur le calcul du segment, pas sur les deux morceaux pris à part.