Une durée de vie

1. Aire totale. Le morceau négatif est nul. Sur $[0,x]$ :

$${\int }_0^x\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-t/3}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-t/3}{]}_0^x=1-{\mathrm{e}}^{-x/3}\underset{x\to +\infty }{\to }1.$$

2. La queue. Pour $a\ge 0$ :

$${\int }_a^x\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-t/3}\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{-a/3}-{\mathrm{e}}^{-x/3}\underset{x\to +\infty }{\to }{\mathrm{e}}^{-a/3}.$$

Pour $a=6$ : ${\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,135$. Environ $13,5\%$ des machines dépassent six ans.

3. La moyenne. Intégration par parties avec $u(t)=t$ et $v^{\prime }(t)=\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-t/3}$, donc $v(t)=-{\mathrm{e}}^{-t/3}$ :

$${\int }_0^x\frac{t}{3}{\mathrm{e}}^{-t/3}\mathrm{d}t=[-t{\mathrm{e}}^{-t/3}{]}_0^x+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t/3}\mathrm{d}t=-x{\mathrm{e}}^{-x/3}+3\left(1-{\mathrm{e}}^{-x/3}\right).$$

Par croissances comparées $x{\mathrm{e}}^{-x/3}\to 0$, donc l'intégrale converge et vaut $3$.

Lecture. Le paramètre $\lambda =\frac{1}{3}$ donne une durée de vie moyenne $\frac{1}{\lambda }=3$ ans, et l'on constate que ${\mathrm{e}}^{-a/3}$ vaut ${\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368$ en $a=3$ : plus d'un tiers des machines dépassent la moyenne. Une durée de vie moyenne n'est pas une durée médiane.