Une espérance sans variance

L'aire totale. Le morceau situé avant $1$ est nul. Pour $x>1$ :

$${\int }_1^x\frac{2}{t^3}\mathrm{d}t={\left[-\frac{1}{t^2}\right]}_1^x=1-\frac{1}{x^2}\underset{x\to +\infty }{\to }1.$$

L'intégrale converge et vaut $1$ : $f$ est positive, continue sauf en $t=1$, et d'aire totale $1$.

Le premier moment. $tf(t)=\frac{2}{t^2}$, donc

$${\int }_1^x\frac{2}{t^2}\mathrm{d}t={\left[-\frac{2}{t}\right]}_1^x=2-\frac{2}{x}\underset{x\to +\infty }{\to }2.$$

Il converge, et vaut $2$.

Le second moment. $t^{2}f(t)=\frac{2}{t}$, donc

$${\int }_1^x\frac{2}{t}\mathrm{d}t=[2\ln t{]}_1^x=2\ln x\underset{x\to +\infty }{\to }+\infty .$$

Il diverge : le symbole ${\int }_1^{+\infty }{t}^{2}f(t)\mathrm{d}t$ ne désigne aucun nombre.

Ce que cela signifie. Multiplier par $t$ puis par $t^2$ alourdit la queue à chaque étage : on est passé de $t^{-3}$ à $t^{-2}$, puis à $t^{-1}$, et c'est précisément là que la convergence s'arrête.

Le point à retenir. Chaque étage se vérifie séparément. Une aire totale finie n'entraîne pas un premier moment fini, et un premier moment fini n'entraîne pas un second : il faut refaire le calcul à chaque fois.