Une exponentielle à demi

Une primitive. La fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-t/2}$ est continue sur $[0,+\infty [$. Comme ${\left(-2{\mathrm{e}}^{-t/2}\right)}^{\prime }={\mathrm{e}}^{-t/2}$, la fonction $F(t)=-2{\mathrm{e}}^{-t/2}$ est une primitive.

Sur un segment. Pour $x>0$, $${\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t/2}\mathrm{d}t={\left[-2{\mathrm{e}}^{-t/2}\right]}_0^x=2-2{\mathrm{e}}^{-x/2}.$$

La limite. L'exposant $-x/2$ tend vers $-\infty$, donc ${\mathrm{e}}^{-x/2}\to 0$. La limite vaut $2$ : l'intégrale converge et $${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t/2}\mathrm{d}t=2.$$

Lecture. Multiplier cette fonction par $\frac{1}{2}$ donnerait une aire totale de $1$ : c'est exactement la densité qui décrira, au chapitre $9$, une durée de vie de moyenne $2$.