Une fonction définie par morceaux

Compléments d'analyse · Chasles et fonctions définies par morceaux · niveau 2

Énoncé

Soit $f$ définie sur $R$ par $f (t) = 0$ si $t < 0$ , $f (t) = \frac{1}{4}$ si $0 \leq t \leq 2$ , et $f (t) = \frac{1}{2} e^{- (t - 2)}$ si $t > 2$ . Montrer que $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t = 1$ .

Corrigé

Découpage (Chasles). On écrit l'intégrale en trois morceaux : $] - \infty, 0]$ , $[0, 2]$ et $[2, + \infty [$ .

Premier morceau. $f$ est nulle : l'intégrale vaut $0$ .

Deuxième. $\int_{0}^{2} \frac{1}{4} d t = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .

Troisième. Une primitive de $\frac{1}{2} e^{- (t - 2)}$ est $- \frac{1}{2} e^{- (t - 2)}$ , donc

$\int_{2}^{x} \frac{1}{2} e^{- (t - 2)} d t = \frac{1}{2} (1 - e^{- (x - 2)}) x \to + \infty \frac{1}{2} .$

Total. $0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

À retenir. C'est exactement la forme d'une densité : positive, nulle là où la variable ne va pas, d'aire totale $1$ . Le recollement en $t = 2$ n'est pas continu ( $\frac{1}{4}$ à gauche, $\frac{1}{2}$ à droite), et cela n'empêche rien.

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