Une fonction définie par morceaux

Découpage (Chasles). On écrit l'intégrale en trois morceaux : $\left]-\infty ,0\right]$, $[0,2]$ et $[2,+\infty [$.

Premier morceau. $f$ est nulle : l'intégrale vaut $0$.

Deuxième. ${\int }_0^2\frac{1}{4}\mathrm{d}t=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Troisième. Une primitive de $\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-(t-2)}$ est $-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-(t-2)}$, donc

$${\int }_2^x\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-(t-2)}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\left(1-{\mathrm{e}}^{-(x-2)}\right)\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{1}{2}.$$

Total. $0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

À retenir. C'est exactement la forme d'une densité : positive, nulle là où la variable ne va pas, d'aire totale $1$. Le recollement en $t=2$ n'est pas continu ($\frac{1}{4}$ à gauche, $\frac{1}{2}$ à droite), et cela n'empêche rien.