Une fonction nulle en dehors d'un segment

Trois morceaux. Par la relation de Chasles, on découpe l'axe en $\left]-\infty ,0\right]$, $[0,1]$ et $[1,+\infty [$.

Les deux morceaux extérieurs. Sur chacun d'eux, $f$ est identiquement nulle, donc ${\int }_x^{0}f=0$ pour tout $x<0$ et ${\int }_1^{x}f=0$ pour tout $x>1$. Ces deux intégrales convergent et valent $0$.

Le morceau central. Une primitive de $3t^2$ est $t^3$, donc $${\int }_0^{1}3t^2\mathrm{d}t=[t^3{]}_0^1=1.$$

Conclusion. Les trois morceaux convergent, donc l'intégrale sur $\mathbb{R}$ converge et vaut $0+1+0=1$.

L'aire jusqu'à $\frac{1}{2}$. Le morceau de gauche est nul, et $${\int }_0^{1/2}3t^2\mathrm{d}t=[t^3{]}_0^{1/2}=\frac{1}{8}=0,125.$$ Donc ${\int }_{-\infty }^{1/2}f(t)\mathrm{d}t=0,125$ : un huitième de l'aire seulement est à gauche du milieu du segment, la fonction pesant beaucoup plus lourd près de $1$.