Une fraction rationnelle à intégrer

La primitive. On reconnaît la forme $\frac{u^{\prime }}{u^2}$ avec $u(t)=1+t^2$, dont $u^{\prime }(t)=2t$. Une primitive de $\frac{u^{\prime }}{u^2}$ est $-\frac{1}{u}$, donc

$$F(t)=-\frac{1}{1+t^2}.$$

Sur le segment. Pour $x>0$ :

$${\int }_0^x\frac{2t}{{\left(1+t^2\right)}^2}\mathrm{d}t={\left[-\frac{1}{1+t^2}\right]}_0^x=1-\frac{1}{1+x^2}.$$

La limite. Quand $x\to +\infty$, $1+x^2\to +\infty$, donc $\frac{1}{1+x^2}\to 0$. L'intégrale converge et

$${\int }_0^{+\infty }\frac{2t}{{\left(1+t^2\right)}^2}\mathrm{d}t=1.$$

Contrôle. La fonction intégrée est positive sur $[0,+\infty [$, donc l'aire doit croître et rester sous sa limite : à $x=3$ elle vaut $0,900$, à $x=10$ elle vaut $0,990$. C'est bien le cas.

Le point à retenir. La difficulté n'est jamais la limite, toujours la primitive. Les trois formes qui reviennent sont ${\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, $t^{-\alpha }$ et $\frac{u^{\prime }}{u^2}$ ; devant une fraction, on cherche d'abord si le numérateur est la dérivée du dénominateur.