Une intégration par parties

Sur le segment. Avec $u(t)=t$, $v^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{-t}$, donc $u^{\prime }(t)=1$ et $v(t)=-{\mathrm{e}}^{-t}$ :

$${\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-t{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=-x{\mathrm{e}}^{-x}+\left(1-{\mathrm{e}}^{-x}\right).$$

La limite. $x{\mathrm{e}}^{-x}\to 0$ par croissances comparées, et ${\mathrm{e}}^{-x}\to 0$. Donc l'intégrale converge et vaut $1$.

Erreur à éviter. Écrire $[-t{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^{+\infty }$ directement n'a pas de sens : un crochet ne s'évalue qu'entre deux nombres. On fait l'intégration par parties sur $[0,x]$, et l'on passe à la limite après.