Une puissance à intégrer

Compléments d'analyse · Calcul direct par une primitive · niveau 1 (application)

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Étudier la convergence de $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{4}}$ et, le cas échéant, la calculer.

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Une primitive. La fonction $t \mapsto t^{- 4}$ est continue sur $[1, + \infty [$ . Comme $(- \frac{1}{3} t^{- 3})^{'} = t^{- 4}$ , la fonction $F (t) = - \frac{1}{3 t ^{3}}$ est une primitive.

Sur un segment. Pour $x > 1$ , $\int_{1}^{x} \frac{d t}{t ^{4}} = [- \frac{1}{3 t ^{3}}]_{1}^{x} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 x ^{3}} .$

La limite. Quand $x \to + \infty$ , $x^{3} \to + \infty$ donc $\frac{1}{3 x ^{3}} \to 0$ . La limite vaut $\frac{1}{3}$ : elle est finie, donc l'intégrale converge et $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{4}} = \frac{1}{3} .$

Contrôle de vraisemblance. L'aire est positive, et plus petite que celle de $\int_{1}^{+ \infty} t^{- 2} d t = 1$ : c'est cohérent, car $t^{- 4} \leq t^{- 2}$ dès que $t \geq 1$ .

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