Une puissance à intégrer

Une primitive. La fonction $t\mapsto t^{-4}$ est continue sur $[1,+\infty [$. Comme ${\left(-\frac{1}{3}{t}^{-3}\right)}^{\prime }=t^{-4}$, la fonction $F(t)=-\frac{1}{3t^3}$ est une primitive.

Sur un segment. Pour $x>1$, $${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^4}={\left[-\frac{1}{3t^3}\right]}_1^x=\frac{1}{3}-\frac{1}{3x^3}.$$

La limite. Quand $x\to +\infty$, $x^3\to +\infty$ donc $\frac{1}{3x^3}\to 0$. La limite vaut $\frac{1}{3}$ : elle est finie, donc l'intégrale converge et $${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^4}=\frac{1}{3}.$$

Contrôle de vraisemblance. L'aire est positive, et plus petite que celle de ${\int }_1^{+\infty }{t}^{-2}\mathrm{d}t=1$ : c'est cohérent, car $t^{-4}\le t^{-2}$ dès que $t\ge 1$.