Une puissance de t

Compléments d'analyse · Convergence et calcul par primitive · niveau 1 (application)

Énoncé

Étudier la convergence de $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{3}}$ et, le cas échéant, la calculer.

Sur le segment. Une primitive de $t^{- 3}$ est $- \frac{1}{2 t ^{2}}$ , donc pour $x > 1$ :

$\int_{1}^{x} \frac{d t}{t ^{3}} = [- \frac{1}{2 t ^{2}}]_{1}^{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x ^{2}} .$

La limite. Quand $x \to + \infty$ , $\frac{1}{2 x ^{2}} \to 0$ . L'intégrale converge et

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{3}} = \frac{1}{2} .$

Contrôle. À $x = 10$ , l'aire vaut déjà $0, 495$ ; à $x = 100$ , $0, 49995$ . Elle monte vers $\frac{1}{2}$ sans jamais l'atteindre.