Une puissance décalée

Ce que l'on a le droit d'employer. Une primitive, la valeur sur un segment, puis un passage à la limite : c'est la seule méthode disponible ici.

Une primitive. La fonction $t\mapsto \frac{3}{(1+t{)}^4}$ est continue sur $[0,+\infty [$, car $1+t$ n'y annule jamais. Comme ${\left(-(1+t{)}^{-3}\right)}^{\prime }=3(1+t{)}^{-4}$, la fonction $F(t)=-\frac{1}{(1+t{)}^3}$ est une primitive.

Sur un segment. Pour $x>0$, $${\int }_0^x\frac{3\mathrm{d}t}{(1+t{)}^4}={\left[-\frac{1}{(1+t{)}^3}\right]}_0^x=1-\frac{1}{(1+x{)}^3}.$$

La limite. Quand $x\to +\infty$, $(1+x{)}^3\to +\infty$, donc $\frac{1}{(1+x{)}^3}\to 0$. La limite existe et vaut $1$ : elle est finie, donc l'intégrale converge et $${\int }_0^{+\infty }\frac{3\mathrm{d}t}{(1+t{)}^4}=1.$$

Le point délicat. On n'écrit le symbole ${\int }_0^{+\infty }$ qu'après avoir obtenu cette limite finie : avant le troisième geste, il ne désigne aucun nombre. Et l'on remarquera au passage que cette fonction, positive d'aire totale $1$, a tout d'une densité de probabilité.