Une queue en puissance, son espérance et son moment d'ordre deux

L'aire totale. Le morceau de gauche est nul. À droite, une primitive de $3(1+t{)}^{-4}$ est $-(1+t{)}^{-3}$, donc pour $x>0$ : ${\int }_0^{x}f=1-(1+x{)}^{-3}\to 1$. L'intégrale sur $\mathbb{R}$ converge et vaut $1$ : $f$, positive, est une densité.

L'astuce de calcul. On n'a pas de changement de variable à disposition, mais une simple réécriture suffit : $t=(1+t)-1$, donc $$\frac{t}{(1+t{)}^4}=\frac{(1+t)-1}{(1+t{)}^4}=\frac{1}{(1+t{)}^3}-\frac{1}{(1+t{)}^4}.$$

L'espérance. Pour $x>0$, en intégrant terme à terme sur le segment, $${\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t=3{\left[-\frac{1}{2(1+t{)}^2}+\frac{1}{3(1+t{)}^3}\right]}_0^x\underset{x\to +\infty }{\to }3\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2},$$ les deux termes en $x$ tendant vers $0$. Donc ${\int }_0^{+\infty }tf(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}$.

Le moment d'ordre deux. De même $t^2=((1+t)-1{)}^2=(1+t{)}^2-2(1+t)+1$, donc $$\frac{t^2}{(1+t{)}^4}=\frac{1}{(1+t{)}^2}-\frac{2}{(1+t{)}^3}+\frac{1}{(1+t{)}^4}.$$ Chacun des trois morceaux converge, d'intégrales respectives sur $[0,+\infty [$ égales à $1$, $2\times \frac{1}{2}=1$ et $\frac{1}{3}$. En multipliant par $3$ : $${\int }_0^{+\infty }{t}^{2}f(t)\mathrm{d}t=3\left(1-1+\frac{1}{3}\right)=1.$$

Le point délicat. Les trois intégrales du dernier calcul convergent séparément : c'est cette vérification, et elle seule, qui autorise à les combiner. Enfin, le moment d'ordre deux vaut $1$ tandis que le carré de l'espérance vaut $\frac{1}{4}$ : l'écart $\frac{3}{4}$ sera la variance.