Une racine cubique au dénominateur

Réécriture. On a $\frac{1}{\sqrt[3]{t}}=t^{-1/3}$, fonction continue sur $[1,+\infty [$ car $t\ge 1>0$.

Une primitive. L'exposant $-\frac{1}{3}$ n'est pas $-1$, donc on applique la règle des puissances : une primitive est $$F(t)=\frac{t^{-1/3+1}}{-\frac{1}{3}+1}=\frac{t^{2/3}}{2/3}=\frac{3}{2}{t}^{2/3}.$$

Sur un segment. Pour $x>1$, $${\int }_1^x{t}^{-1/3}\mathrm{d}t={\left[\frac{3}{2}{t}^{2/3}\right]}_1^x=\frac{3}{2}{x}^{2/3}-\frac{3}{2}.$$

La limite. L'exposant $\frac{2}{3}$ est strictement positif, donc $x^{2/3}\to +\infty$, et l'expression ci-dessus tend vers $+\infty$. La limite n'est pas finie : l'intégrale diverge.

La leçon. La fonction tend pourtant vers $0$ quand $t$ grandit. Tendre vers zéro ne suffit pas : encore faut-il le faire assez vite, c'est-à-dire, pour une puissance $t^{-\alpha }$, avoir $\alpha >1$. Ici $\alpha =\frac{1}{3}$.