Une relation de récurrence entre trois intégrales

Le premier terme. Pour $x>0$, ${\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x=1-{\mathrm{e}}^{-x}\underset{x\to +\infty }{\to }1$, donc $I_0=1$.

La récurrence, sur un segment. Soit $n\ge 1$ et $x>0$. Posons $u(t)=t^n$ et $v^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{-t}$, donc $u^{\prime }(t)=n{t}^{n-1}$ et $v(t)=-{\mathrm{e}}^{-t}$ ; les deux fonctions sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,x]$. L'intégration par parties donne $${\int }_0^x{t}^n{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-t^n{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x+n{\int }_0^x{t}^{n-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=-x^n{\mathrm{e}}^{-x}+n{\int }_0^x{t}^{n-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t.$$ Le crochet en $0$ vaut $0$ car $0^n=0$ pour $n\ge 1$ — c'est là que l'hypothèse $n\ge 1$ sert.

Le passage à la limite. Par croissances comparées, $x^n{\mathrm{e}}^{-x}\to 0$ quand $x\to +\infty$, et l'intégrale du membre de droite tend vers $I_{n-1}$ puisque celle-ci converge. On obtient donc $$I_n=n{I}_{n-1}\text{pour tout }n\ge 1.$$

Application. $I_1=1\times I_0=1$, puis $I_2=2\times I_1=2$, puis $$I_3=3\times I_2=6.$$

Ce que cela vaut. Une seule intégration par parties, faite en toute généralité, remplace les trois calculs séparés ; et la suite obtenue, $1,1,2,6,24,\dots$, est celle des factorielles : $I_n=n!$, ce qu'une récurrence immédiate confirmerait.