Crochets ouverts, crochets fermés

Un point ne pèse rien. Pour une variable à densité, $$P(X=2)={\int }_2^{2}f(t)\mathrm{d}t=0,$$ une intégrale entre deux bornes égales étant nulle. Ce n'est pas une approximation : c'est exactement $0$.

L'intervalle fermé. $$P(2\le X\le 3)={\int }_2^3\frac{1}{5}\mathrm{d}t=\frac{3-2}{5}=\frac{1}{5}=0,2.$$

L'intervalle ouvert. Comme $P(X=2)=P(X=3)=0$, retirer les deux extrémités ne change rien : $$P(2<X<3)=P(2\le X\le 3)=0,2.$$

L'événement contraire. Les deux événements $[2\le X\le 3]$ et $[X\le 2\text{ ou }X\ge 3]$ se recouvrent en deux points, de probabilité nulle ; le second est donc de probabilité $$1-0,2=0,8.$$

Le point délicat. Dans le cas discret, $P(X=2)$ était l'objet même des calculs et ouvrir ou fermer un crochet changeait le résultat. Ici, les quatre écritures $P(2\le X\le 3)$, $P(2<X\le 3)$, $P(2\le X<3)$ et $P(2<X<3)$ donnent le même nombre.