Crochets ouverts ou fermés

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 8 — Variables aléatoires à densité · Fonction de répartition et probabilités d'intervalles

Énoncé

Soit $X$ une variable à densité et $a < b$ . Montrer que $P (a \leq X \leq b) = P (a < X < b)$ , et expliquer pourquoi l'énoncé serait faux pour une variable discrète.

Corrigé

Le point clé. Pour tout réel $c$ , $P (X = c) = \int_{c}^{c} f (t) d t = 0$ : une intégrale entre deux bornes égales est nulle.

La décomposition. L'événement $[a \leq X \leq b]$ est la réunion des trois événements incompatibles $[X = a]$ , $[a < X < b]$ et $[X = b]$ , donc

$P (a \leq X \leq b) = 0 + P (a < X < b) + 0 = P (a < X < b) .$

Le cas discret. Si $X$ suit une loi de Poisson, $P (X = 2)$ vaut typiquement plusieurs dixièmes. Retirer une borne change le résultat : c'est même sur ces $P (X = k)$ que reposait tout le calcul discret.

Conséquence pratique. Dans ce chapitre et le suivant, on ne se préoccupe jamais des crochets ; on ne se préoccupe que des bornes.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.