Crochets ouverts ou fermés

Le point clé. Pour tout réel $c$, $P(X=c)={\int }_c^{c}f(t)\mathrm{d}t=0$ : une intégrale entre deux bornes égales est nulle.

La décomposition. L'événement $[a\le X\le b]$ est la réunion des trois événements incompatibles $[X=a]$, $[a<X<b]$ et $[X=b]$, donc

$$P(a\le X\le b)=0+P(a<X<b)+0=P(a<X<b).$$

Le cas discret. Si $X$ suit une loi de Poisson, $P(X=2)$ vaut typiquement plusieurs dixièmes. Retirer une borne change le résultat : c'est même sur ces $P(X=k)$ que reposait tout le calcul discret.

Conséquence pratique. Dans ce chapitre et le suivant, on ne se préoccupe jamais des crochets ; on ne se préoccupe que des bornes.