D'une répartition affine à sa densité

Contrôle préalable. $F$ est continue (en $0$ elle vaut $0$, en $3$ elle vaut $1$), croissante car de pente $\frac{1}{3}>0$ sur $[0,3]$ et constante ailleurs, à valeurs dans $[0,1]$, de limites $0$ en $-\infty$ et $1$ en $+\infty$. C'est bien une fonction de répartition.

La densité. On dérive morceau par morceau : la densité est $$f(t)=\frac{1}{3}\text{ si }0<t<3,f(t)=0\text{ sinon.}$$ Elle est positive, et son aire vaut $\frac{1}{3}\times 3=1$.

Les deux probabilités. On lit tout sur $F$ : $$P(1\le X\le 2)=F(2)-F(1)=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\approx 0,333,$$ $$P(X>2)=1-F(2)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\approx 0,333.$$

Remarque. Les deux valent le même tiers, et ce n'est pas un hasard : les intervalles $[1,2]$ et $]2,3]$ ont la même longueur, et la densité est constante.