De la densité à la répartition

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 8 — Variables aléatoires à densité · Fonction de répartition et probabilités d'intervalles

Énoncé

Soit $X$ de densité $f (t) = \frac{t}{2}$ sur $[0, 2]$ , nulle ailleurs. Déterminer $F_{X}$ , puis calculer $P (X \leq 1)$ et $P (1 \leq X \leq 1, 5)$ .

Corrigé

Trois morceaux. Pour $x < 0$ : $F_{X} (x) = 0$ . Pour $0 \leq x \leq 2$ :

$F_{X} (x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{2} d t = \frac{x ^{2}}{4} .$

Pour $x > 2$ : $F_{X} (x) = 1$ .

Première probabilité. $P (X \leq 1) = F_{X} (1) = \frac{1}{4} = 0, 25$ .

Seconde. $P (1 \leq X \leq 1, 5) = F_{X} (1, 5) - F_{X} (1) = \frac{2 , 25}{4} - \frac{1}{4} = 0, 5625 - 0, 25 = 0, 3125$ .

Contrôle. $F_{X}$ est croissante, vaut $0$ en $0$ et $1$ en $2$ : les recollements sont continus, comme ils doivent l'être.

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