De la répartition à la densité

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 8 — Variables aléatoires à densité · Fonction de répartition et probabilités d'intervalles

Énoncé

Soit $F$ définie par $F (x) = 0$ si $x < 0$ , $F (x) = \frac{x ^{2}}{4}$ si $0 \leq x \leq 2$ , $F (x) = 1$ si $x > 2$ . Montrer que $F$ est la fonction de répartition d'une variable à densité, donner sa densité, puis sa médiane.

Corrigé

Les conditions. $F$ est croissante (nulle, puis $\frac{x ^{2}}{4}$ croissante sur $[0, 2]$ , puis constante), vaut $0$ en $- \infty$ et $1$ en $+ \infty$ , et se recolle continûment en $0$ et en $2$ .

La densité. On dérive morceau par morceau : $f (x) = 0$ si $x < 0$ , $f (x) = \frac{2 x}{4} = \frac{x}{2}$ si $0 < x < 2$ , $f (x) = 0$ si $x > 2$ . En $0$ et en $2$ , on choisit une valeur quelconque : deux points ne changent aucune aire.

La médiane. C'est le réel $m$ tel que $F (m) = \frac{1}{2}$ :

$\frac{m ^{2}}{4} = \frac{1}{2} ⟺ m^{2} = 2 ⟺ m = 2 \approx 1, 414.$

À remarquer. La médiane $1, 414$ n'est pas l'espérance $\frac{4}{3} \approx 1, 333$ . Les deux mesurent le « centre » et ne coïncident que pour les densités symétriques.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.