De la répartition à la densité

Les conditions. $F$ est croissante (nulle, puis $\frac{x^2}{4}$ croissante sur $[0,2]$, puis constante), vaut $0$ en $-\infty$ et $1$ en $+\infty$, et se recolle continûment en $0$ et en $2$.

La densité. On dérive morceau par morceau : $f(x)=0$ si $x<0$, $f(x)=\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}$ si $0<x<2$, $f(x)=0$ si $x>2$. En $0$ et en $2$, on choisit une valeur quelconque : deux points ne changent aucune aire.

La médiane. C'est le réel $m$ tel que $F(m)=\frac{1}{2}$ :

$$\frac{m^2}{4}=\frac{1}{2}⟺m^2=2⟺m=\sqrt{2}\approx 1,414.$$

À remarquer. La médiane $1,414$ n'est pas l'espérance $\frac{4}{3}\approx 1,333$. Les deux mesurent le « centre » et ne coïncident que pour les densités symétriques.