Densité d'un carré

Les valeurs. $X\in [1,2]$ donc $Y\in [1,4]$.

Répartition. Pour $1\le y\le 4$, et parce que $X$ est positive :

$$F_Y(y)=P(X^2\le y)=P(X\le \sqrt{y})={\int }_1^{\sqrt{y}}1\mathrm{d}t=\sqrt{y}-1.$$

Densité. En dérivant : $f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}$ sur $\left]1,4\right[$, nulle ailleurs. Elle décroît de $0,5$ à $0,25$.

Contrôle. ${\int }_1^4\frac{\mathrm{d}y}{2\sqrt{y}}=[\sqrt{y}{]}_1^4=1$.

Espérance.

$$E(Y)={\int }_1^{4}y\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}\mathrm{d}y={\int }_1^4\frac{\sqrt{y}}{2}\mathrm{d}y={\left[\frac{y^{3/2}}{3}\right]}_1^4=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}\approx 2,333.$$

Médiane. $F_Y(m)=\frac{1}{2}$ donne $\sqrt{m}=\frac{3}{2}$, soit $m=2,25$.

Le piège classique. $E(Y)=\frac{7}{3}\approx 2,333$ n'est pas $(E(X){)}^2=1,5^2=2,25$. L'espérance d'un carré n'est pas le carré de l'espérance — l'écart, $\frac{7}{3}-\frac{9}{4}=\frac{1}{12}$, est exactement $V(X)$.