Densité d'une transformée affine

Les valeurs de $Y$. $X$ parcourt $[0,2]$, donc $Y$ parcourt $[1,5]$.

Répartition. Pour $1\le y\le 5$ :

$$F_Y(y)=P(2X+1\le y)=P\left(X\le \frac{y-1}{2}\right)=\frac{{\left(\frac{y-1}{2}\right)}^2}{4}=\frac{(y-1{)}^2}{16}.$$

Et $F_Y(y)=0$ si $y<1$, $F_Y(y)=1$ si $y>5$.

Densité. En dérivant sur $\left]1,5\right[$ :

$$f_Y(y)=\frac{2(y-1)}{16}=\frac{y-1}{8},$$

et $f_Y(y)=0$ ailleurs.

Contrôle. ${\int }_1^5\frac{y-1}{8}\mathrm{d}y={\left[\frac{(y-1{)}^2}{16}\right]}_1^5=\frac{16}{16}=1$.

Espérance.

$$E(Y)={\int }_1^{5}y\frac{y-1}{8}\mathrm{d}y=\frac{1}{8}{\left[\frac{y^3}{3}-\frac{y^2}{2}\right]}_1^5=\frac{1}{8}\times \frac{88}{3}=\frac{11}{3}\approx 3,667.$$

On retrouve $2E(X)+1=\frac{8}{3}+1=\frac{11}{3}$ : la linéarité de l'espérance vaut aussi ici.