Dériver, puis chercher la médiane

Contrôle préalable. En $0$, $1-1^3=0$ ; en $1$, $1-0^3=1$ : $F$ est continue. Sur $[0,1]$, $x\mapsto (1-x{)}^3$ décroît, donc $F$ croît ; et $F$ est à valeurs dans $[0,1]$ avec les bonnes limites. C'est une fonction de répartition.

La densité. On dérive morceau par morceau : pour $0<x<1$, $$F^{\prime }(x)=-3(1-x{)}^2\times (-1)=3(1-x{)}^2,$$ et $F^{\prime }=0$ ailleurs. Donc $f(t)=3(1-t{)}^2$ sur $[0,1]$, $0$ ailleurs. Elle est positive, et son intégrale vaut $[-(1-t{)}^3{]}_0^1=0-(-1)=1$ : c'est bien une densité.

La médiane. C'est le réel $m$ de $[0,1]$ tel que $F(m)=\frac{1}{2}$ : $$1-(1-m{)}^3=\frac{1}{2}⟺(1-m{)}^3=\frac{1}{2}⟺1-m=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}.$$ Donc $m=1-2^{-1/3}\approx 1-0,794=0,206$.

L'espérance. En développant $3t(1-t{)}^2=3t-6t^2+3t^3$ : $$E(X)={\int }_0^1\left(3t-6t^2+3t^3\right)\mathrm{d}t={\left[\frac{3t^2}{2}-2t^3+\frac{3t^4}{4}\right]}_0^1=\frac{3}{2}-2+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}.$$

Lecture. Médiane $0,206$, moyenne $0,25$ : la moyenne est la plus grande des deux, parce que la densité, très haute près de $0$, laisse traîner une queue vers $1$ qui tire la moyenne sans déplacer le point qui coupe l'aire en deux.