Espérance et variance d'une densité constante

L'espérance. $$E(X)={\int }_3^7\frac{t}{4}\mathrm{d}t={\left[\frac{t^2}{8}\right]}_3^7=\frac{49-9}{8}=\frac{40}{8}=5.$$ C'est le milieu de $[3,7]$, ce qui était prévisible : la densité est constante, donc la masse est répartie symétriquement autour du centre.

Le moment d'ordre deux. $${\int }_3^7\frac{t^2}{4}\mathrm{d}t={\left[\frac{t^3}{12}\right]}_3^7=\frac{343-27}{12}=\frac{316}{12}=\frac{79}{3}\approx 26,333.$$

La variance, par Kœnig-Huygens. $$V(X)=\frac{79}{3}-5^2=\frac{79-75}{3}=\frac{4}{3}\approx 1,333,$$ et $\sigma (X)=\sqrt{4/3}\approx 1,155$.

Contrôle de vraisemblance. L'intervalle a pour longueur $4$, et l'écart-type trouvé, $1,15$, en fait un peu plus du quart : c'est l'ordre de grandeur attendu pour une masse étalée uniformément sur un segment.