Espérance et variance d'une densité en puissance

Contrôle : c'est une densité. $f$ est positive sur $[0,1]$, continue sauf en $1$, et ${\int }_0^{1}4t^3\mathrm{d}t=[t^4{]}_0^1=1$.

L'espérance. $$E(X)={\int }_0^{1}t\times 4t^3\mathrm{d}t={\int }_0^{1}4t^4\mathrm{d}t={\left[\frac{4t^5}{5}\right]}_0^1=\frac{4}{5}=0,8.$$

Le moment d'ordre deux. $${\int }_0^1{t}^2\times 4t^3\mathrm{d}t={\int }_0^{1}4t^5\mathrm{d}t={\left[\frac{4t^6}{6}\right]}_0^1=\frac{2}{3}\approx 0,6667.$$

La variance, par Kœnig-Huygens. $$V(X)=\frac{2}{3}-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{2}{3}-\frac{16}{25}=\frac{50-48}{75}=\frac{2}{75}\approx 0,0267,$$ et $\sigma (X)=\sqrt{2/75}\approx 0,163$.

Lecture. La moyenne $0,8$ est très proche de la borne droite, et l'écart-type $0,163$ est petit : la densité $4t^3$ concentre la masse près de $1$.