Espérance et variance

Variables aléatoires à densité · Espérance, variance, écart-type · niveau 2

Énoncé

Soit $X$ de densité $f (t) = \frac{3 t ^{2}}{8}$ sur $[0, 2]$ , nulle ailleurs. Calculer $E (X)$ , $V (X)$ et $σ (X)$ .

Corrigé

Espérance.

$E (X) = \int_{0}^{2} t \cdot \frac{3 t ^{2}}{8} d t = [\frac{3 t ^{4}}{32}]_{0}^{2} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2} = 1, 5.$

Moment d'ordre 2.

$\int_{0}^{2} t^{2} \cdot \frac{3 t ^{2}}{8} d t = [\frac{3 t ^{5}}{40}]_{0}^{2} = \frac{96}{40} = \frac{12}{5} = 2, 4.$

Variance. $V (X) = 2, 4 - 1, 5^{2} = 2, 4 - 2, 25 = 0, 15 = \frac{3}{20}$ .

Écart-type. $σ (X) = 0, 15 \approx 0, 387$ .

Lecture. L'espérance $1, 5$ est nettement à droite du milieu de $[0, 2]$ : la densité $t \mapsto \frac{3 t ^{2}}{8}$ croît, donc la masse est concentrée près de $2$ .

Énoncé

Corrigé

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