Espérance et variance

Espérance.

$$E(X)={\int }_0^{2}t\cdot \frac{3t^2}{8}\mathrm{d}t={\left[\frac{3t^4}{32}\right]}_0^2=\frac{48}{32}=\frac{3}{2}=1,5.$$

Moment d'ordre 2.

$${\int }_0^2{t}^2\cdot \frac{3t^2}{8}\mathrm{d}t={\left[\frac{3t^5}{40}\right]}_0^2=\frac{96}{40}=\frac{12}{5}=2,4.$$

Variance. $V(X)=2,4-1,5^2=2,4-2,25=0,15=\frac{3}{20}$.

Écart-type. $\sigma (X)=\sqrt{0,15}\approx 0,387$.

Lecture. L'espérance $1,5$ est nettement à droite du milieu de $[0,2]$ : la densité $t\mapsto \frac{3t^2}{8}$ croît, donc la masse est concentrée près de $2$.