Est-ce une densité ?

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 8 — Variables aléatoires à densité · Reconnaître une densité

Énoncé

Soit $f (t) = \frac{3 t ^{2}}{8}$ pour $t \in [0, 2]$ et $f (t) = 0$ ailleurs. Vérifier que $f$ est une densité de probabilité.

Corrigé

Positivité. Sur $[0, 2]$ , $t^{2} \geq 0$ donc $f (t) \geq 0$ ; ailleurs $f = 0$ . Acquise.

Continuité. $f$ est continue sur $R$ sauf en $t = 2$ , où elle saute de $\frac{3 \times 4}{8} = 1, 5$ à $0$ . Un seul point : c'est autorisé.

Aire totale. Les morceaux extérieurs sont nuls, donc

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t = \int_{0}^{2} \frac{3 t ^{2}}{8} d t = [\frac{t ^{3}}{8}]_{0}^{2} = \frac{8}{8} = 1.$

Conclusion. Les trois conditions sont remplies : $f$ est une densité. On notera au passage que $f (2^{-}) = 1, 5 > 1$ : une densité n'est pas une probabilité.

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