Est-ce une densité ?

Positivité. Sur $[0,2]$, $t^2\ge 0$ donc $f(t)\ge 0$ ; ailleurs $f=0$. Acquise.

Continuité. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ sauf en $t=2$, où elle saute de $\frac{3\times 4}{8}=1,5$ à $0$. Un seul point : c'est autorisé.

Aire totale. Les morceaux extérieurs sont nuls, donc

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^2\frac{3t^2}{8}\mathrm{d}t={\left[\frac{t^3}{8}\right]}_0^2=\frac{8}{8}=1.$$

Conclusion. Les trois conditions sont remplies : $f$ est une densité. On notera au passage que $f(2^{-})=1,5>1$ : une densité n'est pas une probabilité.