L'inverse d'une variable

La répartition de $X$. Pour $0\le x\le 1$, $F_X(x)={\int }_0^{x}2t\mathrm{d}t=x^2$ ; elle vaut $0$ avant et $1$ après. Remarquons que $P(X=0)=0$, donc $\frac{1}{X}$ est bien définie.

Les valeurs prises par $Y$. $X$ vit dans $]0,1]$, donc $Y=1/X$ vit dans $[1,+\infty [$ : pour $y<1$, $F_Y(y)=0$.

Le cœur du calcul. Soit $y\ge 1$. Comme $X>0$, l'inégalité $\frac{1}{X}\le y$ équivaut à $X\ge \frac{1}{y}$ — la fonction inverse est décroissante sur $]0,+\infty [$, d'où le renversement du sens. Donc $$F_Y(y)=P\left(X\ge \frac{1}{y}\right)=1-F_X\left(\frac{1}{y}\right)=1-\frac{1}{y^2}.$$

La densité. En dérivant, $f_Y(y)=\frac{2}{y^3}$ pour $y>1$, et $0$ pour $y<1$. Elle est positive, et ${\int }_1^{x}2y^{-3}\mathrm{d}y=1-x^{-2}\to 1$ : c'est une densité.

L'espérance. Pour $x>1$, $${\int }_1^{x}y\times \frac{2}{y^3}\mathrm{d}y={\int }_1^x\frac{2}{y^2}\mathrm{d}y={\left[-\frac{2}{y}\right]}_1^x=2-\frac{2}{x}\underset{x\to +\infty }{\to }2.$$ Donc $E(Y)=2$.

La variance n'existe pas. Il faudrait que ${\int }_1^{+\infty }{y}^2{f}_Y(y)\mathrm{d}y$ converge. Or $y^2\times \frac{2}{y^3}=\frac{2}{y}$, et ${\int }_1^x\frac{2}{y}\mathrm{d}y=2\ln x\to +\infty$ : l'intégrale diverge. $Y$ admet donc une espérance, mais pas de variance.

Le point délicat. Le renversement de l'inégalité est le seul endroit où l'on peut se tromper, et il se contrôle : si l'on avait écrit $X\le 1/y$, on aurait trouvé $F_Y(y)=1/y^2$, qui décroît — impossible pour une fonction de répartition.