La racine d'une variable

La méthode. On ne transforme jamais la densité directement : on écrit $F_Y(y)=P(Y\le y)$, on traduit la condition en une condition sur $X$, on exprime avec $F_X$, puis on dérive.

La répartition de $X$. Pour $0\le x\le 1$, $F_X(x)={\int }_0^{x}1\mathrm{d}t=x$ ; elle vaut $0$ avant $0$ et $1$ après $1$.

Les valeurs prises par $Y$. $X$ prend ses valeurs dans $[0,1]$ et la racine carrée y est croissante, donc $Y$ prend ses valeurs dans $[0,1]$ également. Ainsi $F_Y(y)=0$ pour $y<0$ et $F_Y(y)=1$ pour $y>1$.

Le cœur du calcul. Pour $0\le y\le 1$, comme $Y\ge 0$ et que la fonction carré est croissante sur $[0,+\infty [$ : $$[\sqrt{X}\le y]=[X\le y^2],\text{donc}{F}_Y(y)=F_X\left(y^2\right)=y^2.$$

La densité. On dérive : $f_Y(y)=2y$ pour $0<y<1$, et $0$ ailleurs.

Contrôle. $f_Y$ est positive et ${\int }_0^{1}2y\mathrm{d}y=[y^2{]}_0^1=1$ : c'est bien une densité.

L'espérance. $$E(Y)={\int }_0^{1}y\times 2y\mathrm{d}y={\left[\frac{2y^3}{3}\right]}_0^1=\frac{2}{3}\approx 0,667.$$

Lecture. $E(X)=\frac{1}{2}$, et pourtant $E(Y)=\frac{2}{3}\ne \sqrt{1/2}\approx 0,707$ : l'espérance d'une racine n'est pas la racine de l'espérance. C'est précisément pour cela qu'il faut passer par la fonction de répartition.