La variance par deux chemins

Premier chemin : Kœnig-Huygens. On calcule d'abord le moment d'ordre $2$ :

$${\int }_0^2{t}^2\cdot \frac{t}{2}\mathrm{d}t={\left[\frac{t^4}{8}\right]}_0^2=\frac{16}{8}=2.$$

Puis on retranche le carré de l'espérance :

$$V(X)=2-{\left(\frac{4}{3}\right)}^2=2-\frac{16}{9}=\frac{2}{9}\approx 0,222.$$

Second chemin : la définition. On développe le carré avant d'intégrer :

$${\left(t-\frac{4}{3}\right)}^2\frac{t}{2}=\frac{t^3}{2}-\frac{4t^2}{3}+\frac{8t}{9}.$$

Chaque terme s'intègre séparément sur $[0,2]$ : ${\left[\frac{t^4}{8}\right]}_0^2=2$, puis $-\frac{4}{3}{\left[\frac{t^3}{3}\right]}_0^2=-\frac{32}{9}$, puis $\frac{8}{9}{\left[\frac{t^2}{2}\right]}_0^2=\frac{16}{9}$. La somme vaut

$$2-\frac{32}{9}+\frac{16}{9}=2-\frac{16}{9}=\frac{2}{9}.$$

Les deux chemins concordent, et $\sigma (X)=\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\approx 0,471$.

Le point à retenir. L'égalité des deux résultats est la formule de Kœnig-Huygens. Le premier chemin est plus court parce qu'il évite de développer le carré ; c'est celui qu'on emploie en pratique. Le second rappelle ce que la variance mesure : la moyenne des carrés des écarts à l'espérance.