Le carré d'une variable qui change de signe

Les valeurs. $X$ parcourt $[-1,1]$, donc $Y$ parcourt $[0,1]$.

Répartition. Soit $0\le y\le 1$. L'inégalité $X^2\le y$ équivaut à $-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y}$, donc

$$F_Y(y)=P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})={\int }_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\frac{1}{2}\mathrm{d}t=\frac{2\sqrt{y}}{2}=\sqrt{y}.$$

Et $F_Y(y)=0$ si $y<0$, $F_Y(y)=1$ si $y>1$.

Le point délicat. Ici $X$ prend des valeurs négatives : on ne peut pas écrire $P(X^2\le y)=P(X\le \sqrt{y})$, qui n'est vraie que pour une variable positive. L'événement est un intervalle des deux côtés de $0$.

Densité. On dérive sur $\left]0,1\right[$ : $f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}$, et $f_Y(y)=0$ ailleurs. Elle grandit sans borne près de $0$, et ce n'est pas un obstacle : une densité n'est pas une probabilité.

Contrôle. ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}y}{2\sqrt{y}}=[\sqrt{y}{]}_0^1=1$.

Espérance.

$$E(Y)={\int }_0^{1}y\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}\mathrm{d}y={\int }_0^1\frac{\sqrt{y}}{2}\mathrm{d}y={\left[\frac{y^{3/2}}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{3}.$$

Contrôle croisé. La densité de $X$ est symétrique, donc $E(X)=0$ et $V(X)=E(X^2)=E(Y)=\frac{1}{3}$ — la valeur attendue pour une répartition uniforme sur $[-1,1]$.

Le point à retenir. Élever au carré efface le signe : deux valeurs opposées de $X$ donnent le même $Y$. C'est pourquoi $[X^2\le y]$ se traduit par un encadrement, et non par une seule inégalité.