Médiane et premier quartile

La fonction de répartition. Pour $x<0$ : $F_X(x)=0$. Pour $0\le x\le 2$ :

$$F_X(x)={\int }_0^x\frac{3t^2}{8}\mathrm{d}t={\left[\frac{t^3}{8}\right]}_0^x=\frac{x^3}{8}.$$

Pour $x>2$ : $F_X(x)=1$. On vérifie les recollements : $\frac{0}{8}=0$ en $0$ et $\frac{8}{8}=1$ en $2$.

La médiane. C'est le réel $m$ tel que $F_X(m)=\frac{1}{2}$ :

$$\frac{m^3}{8}=\frac{1}{2}⟺m^3=4⟺m=\sqrt[3]{4}\approx 1,587.$$

Le premier quartile. C'est le réel $q$ tel que $F_X(q)=\frac{1}{4}$ :

$$\frac{q^3}{8}=\frac{1}{4}⟺q^3=2⟺q=\sqrt[3]{2}\approx 1,260.$$

Contrôle. On a bien $0<q<m<2$, comme l'exige la croissance de $F_X$. Et $P(q\le X\le m)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=0,25$ : le deuxième quart de la masse tient sur l'intervalle étroit $[1,260;1,587]$, ce qui est cohérent avec une densité qui croît.

Le point à retenir. Un quantile se lit toujours sur $F_X$, jamais sur la densité : on résout $F_X(x)=p$. La médiane vaut ici $1,587$ alors que l'espérance vaut $\frac{3}{2}=1,5$ : les deux mesurent un centre et ne coïncident pas.