Trois morceaux qui font un

La fonction de répartition. Pour $x\ge 0$, une primitive de ${\mathrm{e}}^{-t}$ étant $-{\mathrm{e}}^{-t}$ : $$F_X(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x=1-{\mathrm{e}}^{-x},$$ et $F_X(x)=0$ pour $x<0$.

Les trois probabilités. $$P(X\le 1)=F_X(1)=1-{\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,632,$$ $$P(1\le X\le 2)=F_X(2)-F_X(1)={\mathrm{e}}^{-1}-{\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,368-0,135=0,233,$$ $$P(X>2)=1-F_X(2)={\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,135.$$

Le contrôle. Ces trois événements se partagent tout le possible — les recouvrements se réduisent aux points $1$ et $2$, de probabilité nulle. Leur somme doit donc valoir $1$, et en effet $$\left(1-{\mathrm{e}}^{-1}\right)+\left({\mathrm{e}}^{-1}-{\mathrm{e}}^{-2}\right)+{\mathrm{e}}^{-2}=1$$ exactement, les termes s'annulant deux à deux. Numériquement, $0,632+0,233+0,135=1,000$, l'écart éventuel n'étant que d'arrondi.