Une constante à déterminer

Variables aléatoires à densité · Reconnaître une densité · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $f (t) = \frac{c}{t ^{4}}$ pour $t \geq 1$ et $f (t) = 0$ pour $t < 1$ . Déterminer $c$ pour que $f$ soit une densité, puis calculer $P (X > 2)$ .

Corrigé

L'aire, en fonction de $c$ . Pour $x > 1$ :

$\int_{1}^{x} \frac{c}{t ^{4}} d t = [- \frac{c}{3 t ^{3}}]_{1}^{x} = \frac{c}{3} - \frac{c}{3 x ^{3}} x \to + \infty \frac{c}{3} .$

L'équation. $\frac{c}{3} = 1$ donne $c = 3$ . La positivité impose $c > 0$ : c'est bien le cas.

La queue.

$P (X > 2) = \int_{2}^{+ \infty} \frac{3}{t ^{4}} d t = [- \frac{1}{t ^{3}}]_{2}^{+ \infty} = \frac{1}{8} = 0, 125.$

Contrôle. $P (1 \leq X \leq 2) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0, 875$ : $87, 5 %$ de la masse tient entre $1$ et $2$ .

Énoncé

Corrigé

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