Une densité à queue lourde

Espérance. Pour $x>1$ :

$${\int }_1^{x}t\cdot \frac{3}{t^4}\mathrm{d}t={\int }_1^x\frac{3}{t^3}\mathrm{d}t={\left[-\frac{3}{2t^2}\right]}_1^x=\frac{3}{2}-\frac{3}{2x^2}\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{3}{2}.$$

Donc $E(X)=\frac{3}{2}=1,5$.

Moment d'ordre 2. ${\int }_1^x\frac{3}{t^2}\mathrm{d}t=3-\frac{3}{x}\underset{x\to +\infty }{\to }3$.

Variance. $V(X)=3-1,5^2=0,75$, donc $\sigma (X)=\sqrt{0,75}\approx 0,866$.

Attention. Ici tout converge, mais de justesse : avec $\frac{2}{t^3}$ au lieu de $\frac{3}{t^4}$, l'espérance existerait encore et la variance non. Il faut vérifier la convergence à chaque étage.