Une densité constante sur un segment

L'aire totale. Les morceaux extérieurs à $[3,7]$ sont nuls, et $${\int }_3^{7}c\mathrm{d}t=c[t{]}_3^7=4c.$$ L'égalité $4c=1$ donne $c=\frac{1}{4}=0,25$.

Contrôle des trois conditions. Avec $c=\frac{1}{4}>0$ la fonction est positive ; elle est continue sauf en $3$ et $7$ ; son aire vaut $1$. C'est une densité.

La première probabilité. $$P(4\le X\le 6)={\int }_4^6\frac{1}{4}\mathrm{d}t=\frac{6-4}{4}=\frac{1}{2}=0,5.$$

La seconde. $$P(X>6)={\int }_6^7\frac{1}{4}\mathrm{d}t=\frac{7-6}{4}=\frac{1}{4}=0,25.$$

Lecture. La probabilité est ici le rapport des longueurs : un intervalle deux fois plus long a une probabilité deux fois plus grande, où qu'il se trouve dans $[3,7]$. C'est la marque d'une densité constante.