Une densité constante sur un segment

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 8 — Variables aléatoires à densité · Vérifier une densité

Énoncé

Soit $c$ un réel et $f (t) = c$ pour $t \in [3, 7]$ , $f (t) = 0$ ailleurs. Déterminer $c$ pour que $f$ soit une densité, puis calculer $P (4 \leq X \leq 6)$ et $P (X > 6)$ pour $X$ de densité $f$ .

Corrigé

L'aire totale. Les morceaux extérieurs à $[3, 7]$ sont nuls, et $\int_{3}^{7} c d t = c [t]_{3}^{7} = 4 c .$ L'égalité $4 c = 1$ donne $c = \frac{1}{4} = 0, 25$ .

Contrôle des trois conditions. Avec $c = \frac{1}{4} > 0$ la fonction est positive ; elle est continue sauf en $3$ et $7$ ; son aire vaut $1$ . C'est une densité.

La première probabilité. $P (4 \leq X \leq 6) = \int_{4}^{6} \frac{1}{4} d t = \frac{6 - 4}{4} = \frac{1}{2} = 0, 5.$

La seconde. $P (X > 6) = \int_{6}^{7} \frac{1}{4} d t = \frac{7 - 6}{4} = \frac{1}{4} = 0, 25.$

Lecture. La probabilité est ici le rapport des longueurs : un intervalle deux fois plus long a une probabilité deux fois plus grande, où qu'il se trouve dans $[3, 7]$ . C'est la marque d'une densité constante.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.