Une densité en deux paliers

Positivité. $a>0$ et $2a>0$, et $f$ est nulle ailleurs : acquise.

Continuité. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ sauf en $t=0$, $t=1$ et $t=2$, où elle saute. Trois points : c'est un nombre fini, donc c'est autorisé.

Aire totale. Deux rectangles, de largeur $1$ chacune :

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\mathrm{d}t=a\times 1+2a\times 1=3a.$$

L'équation $3a=1$ donne $a=\frac{1}{3}$. La densité vaut donc $\frac{1}{3}$ sur $[0,1]$ et $\frac{2}{3}$ sur $\left]1,2\right]$.

La probabilité. L'intervalle $[0,5;1,5]$ chevauche les deux paliers :

$$P(0,5\le X\le 1,5)=0,5\times \frac{1}{3}+0,5\times \frac{2}{3}=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}.$$

L'espérance.

$$E(X)={\int }_0^1\frac{t}{3}\mathrm{d}t+{\int }_1^2\frac{2t}{3}\mathrm{d}t={\left[\frac{t^2}{6}\right]}_0^1+{\left[\frac{t^2}{3}\right]}_1^2=\frac{1}{6}+1=\frac{7}{6}\approx 1,167.$$

Lecture. L'espérance $\frac{7}{6}$ dépasse $1$, milieu de $[0,2]$ : le second palier est deux fois plus haut que le premier, donc la masse penche à droite, et la moyenne aussi.