Une densité en pente descendante

C'est bien une densité. $f$ est positive sur $[0,1]$, continue sauf en $0$ et $1$, et ${\int }_0^{1}2(1-t)\mathrm{d}t=[2t-t^2{]}_0^1=1$.

L'espérance. $$E(X)={\int }_0^{1}2t(1-t)\mathrm{d}t={\int }_0^1\left(2t-2t^2\right)\mathrm{d}t={\left[t^2-\frac{2t^3}{3}\right]}_0^1=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$$

Le moment d'ordre deux. $${\int }_0^{1}2t^2(1-t)\mathrm{d}t={\left[\frac{2t^3}{3}-\frac{t^4}{2}\right]}_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.$$

La variance, par Kœnig-Huygens. $$V(X)=\frac{1}{6}-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{3-2}{18}=\frac{1}{18}\approx 0,0556,$$ et $\sigma (X)=\frac{1}{\sqrt{18}}=\frac{1}{3\sqrt{2}}\approx 0,236$.

La médiane. Pour $0\le x\le 1$, $F_X(x)={\int }_0^{x}2(1-t)\mathrm{d}t=2x-x^2$. L'équation $2m-m^2=\frac{1}{2}$ s'écrit $m^2-2m+\frac{1}{2}=0$, de discriminant $4-2=2$, donc $m=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Seule la racine de $[0,1]$ convient : $$m=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,293.$$

Lecture. Médiane $0,293$ contre moyenne $0,333$ : la moyenne est tirée vers la droite par les valeurs élevées, bien qu'elles soient les moins probables.