Une densité en pente

Les trois conditions.

Positivité : pour $t\in [0,1]$, $2t\ge 0$ ; ailleurs $f$ est nulle. Donc $f\ge 0$ sur $\mathbb{R}$.

Continuité : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ sauf en $t=1$, où elle saute de $2$ à $0$. Un seul point de discontinuité, c'est autorisé.

Aire totale : les morceaux extérieurs sont nuls, et $${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{1}2t\mathrm{d}t=[t^2{]}_0^1=1.$$

Les trois conditions sont remplies : $f$ est une densité de probabilité.

La probabilité demandée. C'est l'aire sous la courbe jusqu'à $\frac{1}{2}$ : $$P\left(X\le \frac{1}{2}\right)={\int }_0^{1/2}2t\mathrm{d}t=[t^2{]}_0^{1/2}=\frac{1}{4}=0,25.$$

Lecture. La moitié gauche de l'intervalle ne porte qu'un quart de la probabilité : la densité y est plus basse, donc l'aire y est plus petite. C'est l'aire, jamais la hauteur, qui est une probabilité.