Une densité en triangle

C'est une densité. $f$ est positive sur $[0,2]$ ($t\ge 0$ sur $[0,1]$ et $2-t\ge 0$ sur $[1,2]$), continue sur $\mathbb{R}$ — en $1$, les deux expressions valent $1$. Par Chasles, $${\int }_{-\infty }^{+\infty }f={\int }_0^{1}t\mathrm{d}t+{\int }_1^2(2-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}+{\left[2t-\frac{t^2}{2}\right]}_1^2=\frac{1}{2}+(4-2)-\left(2-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$

L'espérance. Toujours par Chasles : $$E(X)={\int }_0^1{t}^2\mathrm{d}t+{\int }_1^{2}t(2-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{3}+{\left[t^2-\frac{t^3}{3}\right]}_1^2.$$ Le crochet vaut $\left(4-\frac{8}{3}\right)-\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$, donc $E(X)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$. On pouvait le prévoir : le triangle est symétrique par rapport à la droite $t=1$.

Le moment d'ordre deux. $${\int }_0^1{t}^3\mathrm{d}t+{\int }_1^2{t}^2(2-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{4}+{\left[\frac{2t^3}{3}-\frac{t^4}{4}\right]}_1^2=\frac{1}{4}+\left(\frac{16}{3}-4\right)-\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right).$$ Le calcul donne $\frac{1}{4}+\frac{4}{3}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{7}{6}$.

La variance. $V(X)=\frac{7}{6}-1^2=\frac{1}{6}\approx 0,167$, et $\sigma (X)=\frac{1}{\sqrt{6}}\approx 0,408$.

La probabilité demandée. $P\left(X\le \frac{1}{2}\right)={\int }_0^{1/2}t\mathrm{d}t=\frac{1}{8}$.

Le point délicat. Deux morceaux, donc deux intégrales à chaque étape : oublier l'un des deux se voit aussitôt sur le contrôle « aire totale $=1$ ».