Une densité qui monte puis redescend

L'aire totale. Le morceau de gauche est nul. À droite, une intégration par parties sur $[0,x]$ avec $u(t)=t$ et $v^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{-t}$ donne $${\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-t{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=-x{\mathrm{e}}^{-x}+1-{\mathrm{e}}^{-x}.$$ Par croissances comparées $x{\mathrm{e}}^{-x}\to 0$, et ${\mathrm{e}}^{-x}\to 0$ : la limite vaut $1$, donc ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f=c$.

La constante. L'égalité $c=1$ répond à la question. La fonction $t\mapsto t{\mathrm{e}}^{-t}$ est positive sur $[0,+\infty [$ et continue sur $\mathbb{R}$ : les trois conditions sont remplies, $f$ est une densité.

La probabilité demandée. Par la même intégration par parties, mais sur $[1,x]$ : $${\int }_1^{x}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-t{\mathrm{e}}^{-t}{]}_1^x+[-{\mathrm{e}}^{-t}{]}_1^x=-x{\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^{-1}-{\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^{-1}.$$ Les deux termes en $x$ tendent vers $0$, donc $$P(X>1)={\int }_1^{+\infty }t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=2{\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,736.$$

Lecture. Près de trois quarts de la masse sont au-delà de $1$, alors que la densité y décroît : c'est que le maximum de $t{\mathrm{e}}^{-t}$ est atteint en $t=1$ et que la décroissance qui suit est lente. La valeur en un point ne dit rien de l'aire qui la suit.