Une densité, sa répartition et sa médiane

Une primitive. Comme ${\left(-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-t^2}\right)}^{\prime }=t{\mathrm{e}}^{-t^2}$, la fonction $t\mapsto -\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-t^2}$ est une primitive de $t\mapsto t{\mathrm{e}}^{-t^2}$ sur $[0,+\infty [$.

L'aire totale. Le morceau de gauche est nul, et pour $x>0$ : $${\int }_0^{x}ct{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t={\left[-\frac{c}{2}{\mathrm{e}}^{-t^2}\right]}_0^x=\frac{c}{2}\left(1-{\mathrm{e}}^{-x^2}\right)\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{c}{2},$$ puisque $x^2\to +\infty$ donc ${\mathrm{e}}^{-x^2}\to 0$. L'égalité $\frac{c}{2}=1$ donne $c=2$ ; la fonction est alors positive et continue, c'est une densité.

La fonction de répartition. Par définition $F_X(x)={\int }_{-\infty }^{x}f$. Pour $x<0$, l'intégrande est nul donc $F_X(x)=0$. Pour $x\ge 0$, le calcul ci-dessus avec $c=2$ donne $$F_X(x)=1-{\mathrm{e}}^{-x^2}.$$

Contrôle. $F_X$ est croissante (car $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x^2}$ décroît sur $[0,+\infty [$), continue en $0$ où elle vaut $0$, et tend vers $1$ en $+\infty$ : les propriétés attendues d'une fonction de répartition sont là.

La médiane. C'est le réel $m$ tel que $F_X(m)=\frac{1}{2}$ : $$1-{\mathrm{e}}^{-m^2}=\frac{1}{2}⟺{\mathrm{e}}^{-m^2}=\frac{1}{2}⟺-m^2=-\ln 2⟺m=\sqrt{\ln 2},$$ la racine positive étant la seule à retenir puisque $m\ge 0$. Numériquement $m\approx 0,833$.

Le point délicat. On ne cherche jamais la médiane sur la densité, où elle ne se lit pas : on la cherche sur la fonction de répartition, qui est justement l'aire cumulée.